Question

17．如圖，A（-1，0）、B（2，-3）兩點在一次函數y₁=-x+m與二次函數y₂=ax²+bx-3的圖象上．
（1）求m的值和二次函數的解析式；
（2）請直接寫出使y₁＞y₂時自變量x的取值范圍；
（3）是否存在直線AB下方的拋物線上的一點P，使△ABP的面積等于6？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）因為點A（-1，0）、B（2，-3）都在一次函數和二次函數圖象上，一次函數只有一個待定系數m，所以將A（-1，0）、B（2，-3）中任意一點的坐標代入y₂=-x+m即可；二次函數y₁=ax²+bx-3有兩個待定系數a、b，所以需要A（-1，0）、B（2，-3）兩點的坐標都代入y₁=ax²+bx-3，用二元一次方程組解出a、b的值．
（2）直接觀察圖象中同一個橫坐標對應的y₁、y₂的值，直接得到答案；

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y₂=-x+m得：0=-（-1）+m，
∴m=-1．
把A（-1，0）、B（2，-3）兩點代入y₁=ax²+bx-3得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{4a+2b-3=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴y₂=x²-2x-3；
（2）∵y₁=x²-2x-3=（x+1）（x-3），拋物線開口向上，
∴A（-1，0），B（2，-3）
∴當y₁＞y₂時，-1＜x＜2；
（3）不存在直線AB下方的拋物線上的一點P，使△ABP的面積等于6，
理由如下，假設存在P點，作PC⊥x軸，交AB于C點，
如圖，
設P點坐標為（a，a²-2a-3），C點坐標為（a，-a-1），
PC的長為-a-1-（a²-2a-3）=-a²+a+2，
S_△ABP=$\frac{1}{2}$PC•（x_B-x_A）=6
即$\frac{1}{2}$（-a²+a+2）（2+1）=6，
解得a=2，a=-1，
P（2，-3）與B點重合，P點是（-1，0）與A點重合，
假設不成立，∴P點不存在．

點評 本題考查了直線與拋物線解析式的求法，拋物線的相關性質的運用．關鍵是熟練掌握拋物線頂點式與交點式與性質之間的聯系．