Question

10．若正實數a、b滿足ab=a+b+3，則a²+b²的最小值為（　　）

• A． -7
• B． 2
• C． 9
• D． 18

Answer 1

分析 設a+b=m，則ab=m+3，a²+b²變形，再整體代入，轉化為關于x的二次函數求最小值，注意a、b正實數的條件的運用．

解答 解：設a+b=m，則ab=m+3，
a、b可看作關于x的方程x²-mx+m+3=0的兩根，
a、b為實數，則△=（-m）²-4（m+3）≥0，
解得m≤-2或m≥6，而a、b為正實數，
∴a+b=m＞0，只有m≥6，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=m²-2（m+3）=（m-1）²-7，
可知當m≥1時，a²+b²隨m的增大而增大，
∴當m=6時，a²+b²的值最小，為18．
故選D．

點評 本題考查了二次函數最值在確定代數式的值中的運用．本題要注意：①根據已知條件換元，轉化為二次函數，②a、b為正實數條件的運用．