Question

8．在平面直角坐標系中，將拋物線C₁：y=x²繞點（1，0）旋轉180°后，得到拋物線C₂，定義拋物線C₁和C₂上位于-2≤x≤2范圍內的部分為圖象C₃．若一次函數y=kx+k-1（k＞0）的圖象與圖象C₃有兩個交點，則k的范圍是：-2+2$\sqrt{2}$＜k≤$\frac{5}{3}$或$\frac{1}{3}$≤k-4$\sqrt{2}$+6或k≥15．

Answer 1

分析 如圖，由題意圖象C₂的解析式為y=-（x-2）²，圖象C₃是圖中兩根紅線之間的C₁、C₂上的部分圖象，分五種情形討論即可．

解答 解：如圖，由題意圖象C₂的解析式為y=-（x-2）²，圖象C₃是圖中兩根紅線之間的C₁、C₂上的部分圖象．

由-2$≤\\;x≤2$x≤2，則A（2，4），B（-2，-16），D（2，0）．
因為一次函數y=kx+k-1（k＞0）的圖象與圖象C₃有兩個交點
①當直線經過點A時，滿足條件，4=2k+k-1，解得k=$\frac{5}{3}$，
②當直線與拋物線C₁切時，由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+k-1}\end{array}\right.$消去y得到x²-kx-k+1=0，∵△=0，
∴k²+4k-4=0，解得k=$-2+2\sqrt{2}$或-2-2$\sqrt{2}$（舍棄），
觀察圖象可知當-2+2$\sqrt{2}$＜k≤$\frac{5}{3}$時，直線與圖象C₃有兩個交點．
③當直線與拋物線C₂相切時，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-2）^{2}}\\{y=kx+k-1}\end{array}\right.$，消去y，得到x²-（4-k）x+3+k=0，∵△=0，
∴（4-k）²-4（3+k）=0，解得k=6-4$\sqrt{2}$或6+4$\sqrt{2}$（舍棄），
④當直線經過點D（2，0）時，0=2k+k-1，解得k=$\frac{1}{3}$，
觀察圖象可知，$\frac{1}{3}$≤k-4$\sqrt{2}$+6時，直線與圖象C₃有兩個交點．
⑤當直線經過點B（-2，-16）時，-16=-2k+k-1，解得k=15，
觀察圖象可知，k≥15時，直線與圖象C₃有兩個交點．
綜上所述，當-2+2$\sqrt{2}$＜k≤$\frac{5}{3}$或$\frac{1}{3}$≤k-4$\sqrt{2}$+6或k≥15時，直線與圖象C₃有兩個交點．
故答案為-2+2$\sqrt{2}$＜k≤$\frac{5}{3}$或$\frac{1}{3}$≤k-4$\sqrt{2}$+6或k≥15

點評 本題考查二次函數的應用、一次函數的應用、旋轉變換、二元二次方程組、根的判別式等知識，解題的關鍵是求出函數C₂的解析式，搞清楚圖象C₃，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型．