Question

19．如圖，△ABC中，AB=2，AC=3，1＜BC＜5，分別以AB、BC、AC為邊向外作正方形ABIH、BCDE和正方形ACFG，則圖中陰影部分的最大面積為（　　）

• A． 6
• B． 9
• C． 11
• D． 無法計算

Answer 1

分析 有旋轉的性質得到CB=BE=BH′，推出C、B、H'在一直線上，且AB為△ACH'的中線，得到S_△BEI=S_△ABH′=S_△ABC，同理：S_△CDF=S_△ABC，當∠BAC=90°時，即sin∠BAC=1，S_△ABC的面積最大，S_△BEI=S_△CDF=S_△ABC最大，推出S_△GBI=S_△ABC，于是得到陰影部分面積之和為S_△ABC的3倍，于是得到結論．

解答 解：把△IBE繞B順時針旋轉90°，使BI與AB重合，E旋轉到H'的位置，
∵四邊形BCDE為正方形，∠CBE=90°，CB=BE=BH′，
∴C、B、H'在一直線上，且AB為△ACH'的中線，
∴S_△BEI=S_△ABH′=S_△ABC，
同理：S_△CDF=S_△ABC，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sin∠BAC=$\frac{1}{2}$×2×3sin∠BAC=3sin∠BAC，
∴當∠BAC=90°時，
即sin∠BAC=1，S_△ABC的面積最大，
S_△BEI=S_△CDF=S_△ABC最大，
∵∠ABC=∠CBG=∠ABI=90°，
∴∠GBE=90°，
∴S_△GBI=S_△ABC，
所以陰影部分面積之和為S_△ABC的3倍，
又∵AB=2，AC=3，
∴圖中陰影部分的最大面積為3×$\frac{1}{2}$×2×3=9，
故選B．

點評 本題考查了勾股定理，利用了旋轉的性質：旋轉前后圖形全等得出圖中陰影部分的最大面積是S_△ABC的3 倍是解題關鍵．