Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A在y軸正半軸上，頂點B在x軸正半軸上，AC，OD交于點P，其中OA=4，OB=3．
（1）則OD所在直線的解析式為y=$\frac{7}{4}$x；
（2）則△AOP的面積為$\frac{224}{53}$．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的性質，可得AD與AB的關系，∠DAB的度數，根據余角的性質，可得∠DAE=∠ABO，根據全等三角形的判定與性質，可得AE、DE的長度，根據待定系數法，可得答案；
（2）根據全等三角形的判定與性質，可得BF、CF的長度，根據待定系數法，可得CA的解析式，根據解方程組，可得P點坐標，根據三角形的面積公式，可得答案．

解答 解：（1）過點D作DE⊥OA于點E，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形
∴AD=AB，∠DAB=∠DEA=∠DAB=90°．
∵OA⊥OB
∴∠DAE+∠OAB=∠OAB+∠ABO=90°
∴∠DAE=∠ABO
在DAE和AOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEA=∠AOB}&{\;}\\{∠DAE=∠ABO}&{\;}\\{DA=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEA≌△AOB  （AAS），
∴DE=AO=4，AE=BO=3
∴OE=AE+AO=3+4=7
∴點D的坐標為（4，7）．
設OD所在直線的解析式為y=k₁x （k₁≠0）
將點D （4，7）代入得：4k₁=7，
解得：k₁=$\frac{7}{4}$，
所以OD所在直線的解析式為y=$\frac{7}{4}$x；
故答案為：y=$\frac{7}{4}$x；
（2）過點C作CF⊥OB于點F，
由第（1）問易得：△AOB≌BFC，
BF=4，CF=3，
∴OF=OB+BF=7，
∴點A的坐標為（0，4），點C的坐標為（7，3）
設AC所在直線的解析式為y=₂x+b （k₂≠0），
將點A（0，4），點C（7，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{7{k}_{2}+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{1}{7}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以AC所在直線的解析式為y=-$\frac{1}{7}$x+4，
聯立OD、AC得方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{7}{4}x}\\{y=-\frac{1}{7}x+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{112}{53}}\\{y=\frac{196}{53}}\end{array}\right.$，
∴點P的坐標為（$\frac{112}{53}$，$\frac{196}{53}$）
∴S_△OAP=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{112}{53}$=$\frac{224}{53}$；
故答案為：$\frac{224}{53}$．

點評 本題考查了正方形的性質，余角的性質，全等三角形的判定與性質，待定系數法求函數解析式、解方程組求交點坐標，三角形的面積公式；證明三角形全等和求出函數解析式是解決問題的關鍵．