Question

11．如圖，⊙O為△AEF的外接圓，BC與⊙O相切于點D，交AE，AF的延長線于點B，C．AD平分∠BAC，EF交AD于點G，若$\frac{EG}{GF}$=$\frac{4}{3}$．求$\frac{BD}{CD}$的值．

Answer 1

分析 連接DF，根據弦切角定理得到∠DAC=∠FDC，根據圓周角定理得到∠DAB=∠DFE，證明EF∥BC，根據相似三角形的性質計算即可．

解答 解：連接DF，
∵BC與⊙O相切，
∴∠DAC=∠FDC，
由圓周角定理得，∠DAB=∠DFE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB，
∴∠DFE=∠FDC，
∴EF∥BC，
∴$\frac{EG}{BD}$=$\frac{AG}{AD}$，$\frac{GF}{DC}$=$\frac{AG}{AD}$，
∴$\frac{EG}{BD}$=$\frac{GF}{DC}$，即$\frac{BD}{CD}$=$\frac{EG}{GF}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、切線的性質、圓周角定理的應用，掌握同弧或等弧所對的圓周角相等、相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．