Question

11．如圖，已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC．E是射線BC上的動點（點E與點B不重合），M是線段DE的中點，連結BD，交線段AM于點N，如果以A、N、D為頂點的三角形與△BME相似，則線段BE的長為（　�。�

• A． 3
• B． 6
• C． 3或8
• D． 2或8

Answer 1

分析 因為如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因為AD∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意，故應分兩種情況進行討論．

解答 解：因為如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因為AD∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意，故應分兩種情況進行討論．
①如圖1，當∠ADN=∠BEM時，那么∠ADB=∠BEM，
作DF⊥BE，垂足為F，
tan∠ADB=tan∠BEM．
AB：AD=DF：FE=AB：（BE-AD）．
即2：4=2：（x-4）．
解得x=8．
即BE=8．
②如圖2，當∠ADB=∠BME
而∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠BME，
∵∠E是公共角，
∴△BED∽△MEB，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{BE}{EM}$，
BE²=DE•EM，
∴BE²=$\frac{1}{2}$[2²+（x-4）²]，
∴x₁=2，x₂=-10（舍去），
∴BE=2．
綜上所述線段BE為8或2，
故選D．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、銳角三角函數、平行線的性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．