Question

10．如圖，AB⊥BC，射線CM⊥BC，且BC=5，AB=1，點P是線段BC （不與點B、C重合）上的動點，過點P作DP⊥AP交射線CM于點D，連結AD．
（1）如圖1，當BP=4時，△ADP是等腰直角三角形．（請直接寫出答案）
（2）如圖2，若DP平分∠ADC，試猜測PB和PC的數量關系，并加以證明．
（3）若△PDC是等腰三角形，作點B關于AP的對稱點B′，連結B′D，請畫出圖形，并求線段B′D的長度．（參考定理：若直角△ABC中，∠C是直角，則BC²+AC²=AB²）

Answer 1

分析 （1）當BP=4時，CP=BC-BP=5=4=1，得出AB=PC，再根據AAS判定△APB≌△PDC，進而得出AP=DP，最后根據∠APD=90°，即可得到△ADP是等腰直角三角形；
（2）先延長線段AP、DC交于點E，運用ASA判定△DPA≌△DPE，再運用AAS判定△APB≌△EPC，根據全等三角形的性質，即可得出結論；
（3）先連接B'P，過點B'作B'F⊥CD于F，根據軸對稱的性質，得出△ABP為等腰直角三角形，并判定四邊形B'PCF是矩形，求得B'F=4，DF=3，最后在Rt△B'FD中，根據勾股定理即可求得B'D的長度．

解答 解：（1）當BP=4時，CP=BC-BP=5=4=1，
∵AB=1，
∴AB=PC，
∵AB⊥BC，DP⊥AP，CM⊥BC，
∴∠B=∠C=90°，∠APB+∠DPC=90°=∠PDC+∠DPC，
∴∠APB=∠PDC，
在△APB和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠APB=∠PDC}\\{AB=PC}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△PDC（AAS），
∴AP=DP，
又∵∠APD=90°，
∴△ADP是等腰直角三角形，
故答案為：4；

（2）PB和PC的數量關系：PB=PC，
證明：如圖2，延長線段AP、DC交于點E，
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠EDP．
∵DP⊥AP，
∴∠DPA=∠DPE=Rt∠．
在△DPA和△DPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠EDP}\\{DP=DP}\\{∠DPA=∠DPE}\end{array}\right.$，
∴△DPA≌△DPE（ASA），
∴PA=PE．
∵AB⊥BP，CM⊥CP，
∴∠ABP=∠ECP=Rt∠．
在△APB和△EPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠ECP}\\{∠APB=∠EPC}\\{PA=PE}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△EPC（AAS），
∴PB=PC； 

（3）如圖，連接B'P，過點B'作B'F⊥CD于F，則∠B'FC=∠C=90°，
∵△PDC是等腰三角形，
∴△PCD為等腰直角三角形，即∠DPC=45°，
又∵DP⊥AP，
∴∠APB=45°，
∵點B關于AP的對稱點為點B′，
∴∠BPB'=90°，∠APB=45°，BP=B'P，
∴△ABP為等腰直角三角形，四邊形B'PCF是矩形，
∴BP=AB=1=B'P，PC=5=1=4=B'F，CF=B'P=1，
∴B'F=4，DF=4-1=3，
∴Rt△B'FD中，B'D=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=5，
故線段B′D的長度為5．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，以及矩形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，以及靈活運用勾股定理計算線段的長度．