Question

18．已知：如圖1，我們在2016年7月的日歷中標出一個十字星，并計算它的“十字差”（將十字星左右兩數，上下兩數分別相乘再將所得的積作差，稱為該十字星的“十字差”）．該十字星的十字差為12×14-6×20=48，再選擇其它位置的十字星，可以發現“十字差”仍為48．
（1）如圖2，將正整數依次填入5列的長方形數表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以發現相應的“十字差”也是一個定值，則這個定值為24．
（2）若將正整數依次填入6列的長方形數表中，不同位置十字星的“十字差”是一個定值嗎？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．
（3）若將正整數依次填入k列的長方形數表中（k≥3），繼續前面的探究，可以發現相應“十字差”為與列數k有關的定值，請用k表示出這個定值，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據題意求出相應的“十字差”，即可確定出所求定值；
（2）定值為35，理由為：設十字星中心的數為x，則十字星左右兩數分別為x-1，x+1，上下兩數分別為x-6，x+6，進而表示出十字差，化簡即可得證；
（3）定值為k²-1=（k+1）（k-1），理由為：設十字星中心的數為x，表示出十字星左右兩數，上下兩數，進而表示出十字差，化簡即可得證．

解答 解：（1）根據題意得：6×8-2×12=48-24=24；
（2）是，這個定值是35； 
設十字星中心的數為x，則十字星左右兩數分別為x-1，x+1，
上下兩數分別為x-6，x+6，
十字差為（x-1）（x+1）-（x-6）（x+6）=x²-1-x²+36=35
（3）定值為k²-1=（k+1）（k-1）；
證明：設十字星中心的數為x，則十字星左右兩數分別為x-1，x+1，上下兩數分別為x-k，x+k（k≥3），
十字差為（x-1）（x+1）-（x-k）（x+k）=x²-1-x²+k²=k²-1，
故這個定值為k²-1=（k+1）（k-1）；
故答案為：24．

點評 此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．