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13.已知如圖,AC=AE,AD=AB,∠ACB=∠DAB=90°,AE∥CB,AC、DE交于點F.
(1)求證:∠DAC=∠B;
(2)猜想線段AF、BC的數量關系并證明.

分析 (1)由題意可以作輔助線即作DG⊥AC的延長線于G,然后根據平行線的性質可以推出結論;
(2)在第一問的基礎上先證出△ADG≌△ABC和△AEF≌△GDF(AAS),再有全等關系得出線段AF、BC的數量關系.

解答 (1)證明:如圖所示:作DG⊥AC的延長線于G,
∵∠ACB=∠DAB=90°,AE∥BC,
∴∠CAE=180°-∠ACB=90°,∠B=∠BAE,
∴∠DAC=90°-∠BAC=∠BAE,
∴∠DAC=∠B;

(2)解:BC=2AF.
理由:∵AG⊥DG,
∴∠AGD=∠ACB=90°,
在△ADG和△ABC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGD=∠ACB}\\{∠DAG=∠B}\\{AD=AB}\end{array}\right.$,
∴△ADG≌△ABC(AAS),
∴DG=AE;AG=BC,
在△AEF和△GDF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFG=∠EFA}\\{∠EAF=∠DGC}\\{DG=AE}\end{array}\right.$,
∴△AEF≌△GDF(AAS),
∴AF=GF=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{2}$BC,
∴BC=2AF.

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質,用到的知識點是平行線的性質和全等三角形的判定與性質,關鍵是作出輔助線,構造全等的三角形.

練習冊系列答案
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(2)若將正整數依次填入6列的長方形數表中,不同位置十字星的“十字差”是一個定值嗎?如果是,請求出這個定值;如果不是,請說明理由.
(3)若將正整數依次填入k列的長方形數表中(k≥3),繼續前面的探究,可以發現相應“十字差”為與列數k有關的定值,請用k表示出這個定值,并證明你的結論.

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