Question

13．已知如圖，AC=AE，AD=AB，∠ACB=∠DAB=90°，AE∥CB，AC、DE交于點F．
（1）求證：∠DAC=∠B；
（2）猜想線段AF、BC的數量關系并證明．

Answer 1

分析 （1）由題意可以作輔助線即作DG⊥AC的延長線于G，然后根據平行線的性質可以推出結論；
（2）在第一問的基礎上先證出△ADG≌△ABC和△AEF≌△GDF（AAS），再有全等關系得出線段AF、BC的數量關系．

解答 （1）證明：如圖所示：作DG⊥AC的延長線于G，
∵∠ACB=∠DAB=90°，AE∥BC，
∴∠CAE=180°-∠ACB=90°，∠B=∠BAE，
∴∠DAC=90°-∠BAC=∠BAE，
∴∠DAC=∠B；

（2）解：BC=2AF．
理由：∵AG⊥DG，
∴∠AGD=∠ACB=90°，
在△ADG和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGD=∠ACB}\\{∠DAG=∠B}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABC（AAS），
∴DG=AE；AG=BC，
在△AEF和△GDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFG=∠EFA}\\{∠EAF=∠DGC}\\{DG=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△GDF（AAS），
∴AF=GF=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{2}$BC，
∴BC=2AF．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，用到的知識點是平行線的性質和全等三角形的判定與性質，關鍵是作出輔助線，構造全等的三角形．