Question

5．觀察下列各式：$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{20}$=$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{30}$=$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$，…
（1）請你根據上面各式的規律，寫出符合該規律的一道等式：$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6×7}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$
（2）請利用上述規律計算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$
（用含有n的式子表示）
（3）請利用上述規律解方程：$\frac{1}{（x-2）（x-1）}$+$\frac{1}{（x-1）x}$+$\frac{1}{x（x+1）}$=$\frac{1}{x+1}$．

Answer 1

分析 （1）觀察已知等式得出規律，寫出即可；
（2）利用得出的拆項規律得出結果即可；
（3）分式方程利用拆項法變形后，求出解即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6×7}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$（答案不唯一）；
故答案為：$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6×7}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$；
（2）原式=$\frac{n}{n+1}$；
故答案為：$\frac{n}{n+1}$
（3）分式方程整理得：$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-1}$+$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{1}{x+1}$，
即$\frac{1}{x-2}$=$\frac{2}{x+1}$，
方程兩邊同時乘（x-2）（x-1），得x+1=2（x-2），
解得：x=5，
經檢驗，x=5是原分式方程的解．

點評 此題考查了解分式方程，約分，以及列代數式，弄清拆項的方法是解本題的關鍵．