Question

13．如圖，在△ABC中，D是邊AB的中點，E是邊AC上一動點，連接DE，過點D作DF⊥DE交邊BC于點F（點F與點B、C不重合），延長FD到點G，使DG=DF，連接EF、AG，已知AB=10，BC=6，AC=8．
（1）判斷△ABC的形狀（按照內角大小進行分類），并說明理由；
（2）請你連接EG，并求證：EF=EG；
（3）設AE=x，CF=y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（4）當△BDF是以BF為腰的等腰三角形時，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）結論：△ABC是直角三角形．根據勾股定理逆定理證明即可．
（2）如圖1中，連接EG．根據垂直平分線的判定定理即可證明．
（3）如圖1中，由△ADG≌△BDF，推出∠GAB=∠B，推出∠EAG=90°，可得EF²=（8-x）²+y²，EG²=x²+（6-y）²，根據EF=EG，可得（8-x）²+y²=x²+（6-y）²，由此即可解決問題．
（4）如圖2中，分兩種切線討論即可．①當BF=DB時．②當DF=FB時，連接DC，過點D作DH⊥BC于H，想辦法求出y的值，再利用（3）的結論即可解決問題．

解答 解：（1）結論：△ABC是直角三角形．
理由：∵BC=6，AC=8，
∴BC²+AC²=36+64=100，又∵AB²=100，
∴BC²+AC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．

（2）如圖1中，連接EG．

∵DG=FD，DF⊥DE，
∴EF=EG．

（3）如圖1中，
∵D是AB中點，
∴AD=DB，
在△ADG和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADG=∠BDF}\\{DC=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△BDF，
∴∠GAB=∠B
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，∠CAB+∠GAB=90°，
∴∠EAG=90°，
∵AE=x，AC=8，
∴EC=8-x，
∵∠ACB=90°，
∴EF²=（8-x）²+y²，
∵△ADG≌△BDF，
∴AG=BF，
∵CF=y，BC=6，
∴AG=BF=6-y，
∵∠EAG=90°，
∴EG²=x²+（6-y）²，
∵EF=EG，
∴（8-x）²+y²=x²+（6-y）²，
∴y=$\frac{4x-7}{3}$，（$\frac{7}{4}$＜x＜$\frac{25}{4}$）．

（4）如圖2中，

①當BF=DB時，6-y=5，
∴y=1，1=$\frac{4x-7}{3}$，
∴x=$\frac{5}{2}$，即AE=$\frac{5}{2}$．
②當DF=FB時，連接DC，過點D作DH⊥BC于H，則DF=FB=6-y，
∵∠ACB=90°，D是AB中點，
∴DC=DB=5，
∵DH⊥BC，BC=6，
∴CH=BH=3，
∴FH=3-y，
∵DH⊥BC，由勾股定理可得DH=4，
在Rt△DHF中，（6-y）²=4²+（3-y）²，
解得y=$\frac{11}{6}$，
∴$\frac{11}{6}$=$\frac{4x-7}{3}$，
解得x=$\frac{25}{8}$，即AE=$\frac{25}{8}$，
綜上所述，AE的長度為$\frac{5}{2}$或$\frac{25}{8}$．

點評 本題考查三角形綜合題、勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．