Question

2．如圖1，點P在正方形ABCD的對角線AC上，正方形的邊長是a，Rt△PEF的兩條直角邊PE、PF分別交BC、DC于點M、N．
（1）操作發現：如圖2，固定點P，使△PEF繞點P旋轉，當PM⊥BC時，四邊形PMCN是正方形．填空：①當AP=2PC時，四邊形PMCN的邊長是$\frac{1}{3}$a；②當AP=nPC時（n是正實數），四邊形PMCN的面積是$\frac{{a}^{2}}{（n+1）^{2}}$．
（2）猜想論證
如圖3，改變四邊形ABCD的形狀為矩形，AB=a，BC=b，點P在矩形ABCD的對角線AC上，Rt△PEF的兩條直角邊PE、PF分別交BC、DC于點M、N，固定點P，使△PEF繞點P旋轉，則$\frac{PM}{PN}$=$\frac{a}{b}$．
（3）拓展探究
如圖4，當四邊形ABCD滿足條件：∠B+∠D=180°，∠EPF=∠BAD時，點P在AC上，PE、PF分別交BC，CD于M、N點，固定P點，使△PEF繞點P旋轉，請探究$\frac{PM}{PN}$的值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）①先判定△PMC∽△ABC，再根據相似三角形的對應邊成比例進行求解；②先用①中的方法求得正方形PMCN的邊長，再計算其面積；
（2）先過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根據相似三角形的性質以及平行線分線段成比例定理進行推導計算即可；
（3）先過P作PG∥AB，作PH∥AD，并結合條件∠B+∠D=180°，判定△PGM∽△PHN，再根據相似三角形的性質以及平行線分線段成比例定理進行推導計算即可．

解答 解：（1）①如圖2，∵PM⊥BC，AB⊥BC
∴△PMC∽△ABC
∴$\frac{CP}{CA}$=$\frac{PM}{AB}$
又∵AP=2PC
∴$\frac{PM}{AB}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{PM}{a}$=$\frac{1}{3}$
∴PM=$\frac{1}{3}$a，即正方形PMCN的邊長是$\frac{1}{3}$a
②當AP=nPC時（n是正實數），$\frac{PM}{AB}$=$\frac{1}{n+1}$
∴PM=$\frac{1}{n+1}$a
∴四邊形PMCN的面積=（$\frac{1}{n+1}$a）²=$\frac{{a}^{2}}{（n+1）^{2}}$

（2）如圖3，過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，則∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°
∵Rt△PEF中，∠FPE=90°
∴∠GPM=∠HPN
∴△PGM∽△PHN
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PG}{PH}$
由PG∥AB，PH∥AD可得，$\frac{PG}{AB}=\frac{CP}{CA}=\frac{PH}{AD}$
∵AB=a，BC=b
∴$\frac{PG}{a}=\frac{PH}{b}$，即$\frac{PG}{PH}$=$\frac{a}{b}$
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{a}{b}$

（3）如圖4，過P作PG∥AB，交BC于G，作PH∥AD，交CD于H，則∠HPG=∠DAB
∵∠EPF=∠BAD
∴∠EPF=∠GPH，即∠EPH+∠HPN=∠EPH+∠GPM
∴∠HPN=∠GPM
∵∠B+∠D=180°
∴∠PGC+∠PHC=180°
又∵∠PHN+∠PHC=180°
∴∠PGC=∠PHN
∴△PGM∽△PHN
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PG}{PH}$①
由PG∥AB，PH∥AD可得，$\frac{PG}{AB}$=$\frac{CP}{CA}$=$\frac{PH}{AD}$
即$\frac{PG}{PH}$=$\frac{AB}{AD}$②
∴由①②可得，$\frac{PM}{PN}$=$\frac{AB}{AD}$

點評 本題主要考查了相似三角形的應用以及平行線分線段成比例定理，解決問題的關鍵是作輔助線構造相似三角形，并根據兩角對應相等判定兩個三角形相似．解題時注意，平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．