Question

17．如圖，把一張長15cm，寬12cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的小正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）．設剪去的小正方形的邊長為xcm．
（1）請用含x的代數(shù)式表示長方體盒子的底面積；
（2）當剪去的小正方形的邊長為多少時，其底面積是130cm²？
（3）試判斷折合而成的長方體盒子的側面積是否有最大值？若有，試求出最大值和此時剪去的小正方形的邊長；若沒有，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圖可知：長方體盒子的底面的長和寬分別是原矩形的長和寬減去兩個小正方形的邊長，根據(jù)矩形的面積=長×寬；
（2）得出一個關于正方形邊長x的方程．從而求解；
（2）長方體盒子的側面積是四個小矩形，都是以正方形的邊長為寬，以盒子的底面的長或寬為長，根據(jù)這個關系，我們可列出關于側面積和正方形邊長x的函數(shù)關系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來求出這個最值．

解答 解：（1）（15-2x）（12-2x）cm²；

（2）依題意得：（15-2x）（12-2x）=130，即2x²-27x+25=0，
解得x₁=1，${x_2}=\frac{25}{2}$（不合題意，舍去），
∴當剪去的小正方形的邊長為1cm時，其底面積是130cm²；

（3）設長方體盒子的側面積是S，則S=2[（15-2x）x+（12-2x）x]，即S=54x-8x²，
S=-8（x-$\frac{27}{8}$）²+$\frac{729}{8}$，（0＜x＜6），
當x=$\frac{27}{8}$時，${S_{最大值}}=\frac{729}{8}$，
即當剪去的小正方形的邊長為$\frac{27}{8}cm$時，長方體盒子的側面積有最大值$\frac{729}{8}c{m^2}$．

點評 對于面積問題應熟記各種圖形的面積公式，然后根據(jù)題意來列出方程或函數(shù)式求解，熟練掌握求二次函數(shù)最值是解題的關鍵．