Question

12．若一個三位數t=$\overline{abc}$（其中a、b、c不全相等且都不為0），重新排列各數位上的數字必可得到一個最大數和一個最小數，此最大數和最小數的差叫做原數的差數，記為T（t）．例如，357的差數T（357）=753-357=396．
（1）已知一個三位數$\overline{a1b}$（其中a＞b＞1）的差數T（$\overline{a1b}$）=792，且各數位上的數字之和為一個完全平方數，求這個三位數；
（2）若一個三位數$\overline{ab2}$（其中a、b都不為0）能被4整除，將個位上的數字移到百位得到一個新數$\overline{2ab}$被4除余1，再將新數個位數字移到百位得到另一個新數$\overline{b2a}$被4除余2，則稱原數為4的“閨蜜數”．例如：因為612=4×153，261=4×65+1，126=4×31+2，所以612是4的一個閨蜜數．求所有小于500的4的“閨蜜數”t，并求T（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由一個三位數$\overline{a1b}$（其中a＞b＞1）的差數T（$\overline{a1b}$）=792，可得a=9，再根據三位數$\overline{a1b}$（其中a＞b＞1）的各數位上的數字之和為一個完全平方數，可得b=16-9-1=6，依此即可求解；
（2）由一個三位數$\overline{ab2}$（其中a、b都不為0）能被4整除，可得b=1或3或5或7或9，再根據將新數個位數字移到百位得到另一個新數$\overline{b2a}$被4除余2并且a＜5，可得a=2，從而得到所有小于500的4的“閨蜜數”t，進一步求得T（t）的最大值．

解答 解：（1）∵一個三位數$\overline{a1b}$（其中a＞b＞1）的差數T（$\overline{a1b}$）=792，
∴a=9，
∵三位數$\overline{a1b}$（其中a＞b＞1）的各數位上的數字之和為一個完全平方數，
∴b=16-9-1=6，
∴這個三位數是916；

（2）∵一個三位數$\overline{ab2}$（其中a、b都不為0）能被4整除，
∴b=1或3或5或7或9，
∵將新數個位數字移到百位得到另一個新數$\overline{b2a}$被4除余2并且a＜5，
∴a=2，
∴所有小于500的4的“閨蜜數”t是212，232，252，272，292，
T（t）的最大值是922-229=693．

點評 此題考查了完全平方數，本題主要應用“差數”“閨蜜數”的定義和整數性質，先將三位“差數”進行預選，然后再從中篩選出符合題意的數．這也是解答數學競賽題的一種常用方法．