Question

5．如圖，正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)C，下列結(jié)論：
①∠BAG=30°
②△GFC是等腰三角形
③AG∥CF
④S_△FGC=3，其中正確結(jié)論是②③．

Answer 1

分析 根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理、正方形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵AB=6，CD=3DE，
∴DE=2，CE=4，
由折疊的性質(zhì)可知，AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，
設(shè)BG=FG=x，則CG=6-x．
在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，
解得x=3．
∴BG=3，
∵AB=6，
∴AG=3$\sqrt{5}$，
∴∠BAG≠30°，①錯(cuò)誤；
∵BG=GF，GF=GC，
∴GF=GC，即△GFC是等腰三角形，②正確；
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠GCF，又∠AGB=∠AGF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴AG∥CF，③正確；
∵S_△GCE=$\frac{1}{2}$GC•CE=$\frac{1}{2}$×3×4=6
∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，
∴S_△GFC：S_△FCE=3：2，
∴S_△GFC=$\frac{3}{5}$×6=$\frac{18}{5}$≠3．④錯(cuò)誤．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．