Question

14．如圖，拋物線y=-x²+bx+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點A（3，0）、B（0，3）兩點．
（1）試求拋物線的解析式和直線AB的解析式；
（2）動點E從O點沿OA方向以1個單位/秒的速度向終點A勻速運動，同時動點F沿AB方向以$\sqrt{2}$個單位/秒的速度向終點B勻速運動，E、F任意一點到達終點時另一個點停止運動，連接EF，設運動時間為t，當t為何值時△AEF為直角三角形？
（3）拋物線位于第一象限的圖象上是否存在一點P，使△PAB面積最大？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據A、B兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線和直線AB的解析式；
（2）骼t可表示出OE、AF、AE的長，分∠AEF=90°和∠AFE=90°兩種情況，可分別證明△AOB∽△AEF和△AOB∽△AFE，利用相似三角形的性質可得到關于t的方程，可求得t的值；
（3）過P作PC∥y，AB于點C，交x軸于點D，可設出P點坐標，用P點坐標可表示也PC的長，從而可表示出△PAB的面積，根據二次函數的性質可求得其取得最大值時P點的坐標．

解答 解：
（1）∵拋物線y=-x²+bx+c（a≠0）經過A（3，0），B（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3，
設直線y=kx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x+3；

（2）由題意可知OE=t，則AF=$\sqrt{2}$t，AE=3-t，
∵△AEF為直角三角形，
∴有∠AEF=90°和∠AFE=90°兩種情況，
①當∠AEF=90°時，則有△AOB∽△AEF，
∴$\frac{AB}{AF}$=$\frac{AO}{AE}$，即$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}t}$=$\frac{3}{3-t}$，解得t=$\frac{3}{2}$；
②當∠AFE=90°時，則有△AOB∽△AFE，
∴$\frac{OA}{AF}$=$\frac{AB}{AE}$，即$\frac{3}{\sqrt{2}t}$=$\frac{3\sqrt{2}}{3-t}$，解得t=1；
綜上可知當t為$\frac{3}{2}$或1時△AEF為直角三角形；

（3）如圖，過P作PC∥y，AB于點C，交x軸于點D，

設P（x，-x²+2x+3）（0＜x＜3），則C（x，-x+3），
∵P為拋物線在第一象限內的點，
∴PC=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x，
∴S_△PAB=S_△PBC+S_△PAC=$\frac{1}{2}$PC•OD+$\frac{1}{2}$PC•AD=$\frac{1}{2}$PC•OA=$\frac{3}{2}$PC=$\frac{3}{2}$（-x²+3x）=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當x=$\frac{3}{2}$時，S_△PAB有最大值$\frac{27}{8}$，此時P點坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、相似三角形的性質和判定、二次函數的性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）中用t表示出OE、AE、AF的長是解題的關鍵，注意分兩種情況，在（3）中用P點坐標表示出△PAB的面積是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．