Question

15．已知$\frac{x-b}{a}$=2-$\frac{x-a}{b}$，且a+b=2，請化簡并求值以下代數式：$\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$+$\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$．

Answer 1

分析 解方程得出x=2，再分母有理化，化簡得出原式=4x+2，最后代入求出即可．

解答 解：$\frac{x-b}{a}$=2-$\frac{x-a}{b}$，
b（x-b）=2ab-a（x-a），
bx+ax=（a+b）²，
∵a+b=2，
∴2x=4，
∴x=2，
∴$\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$+$\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$
=$\frac{（\sqrt{x+1}-\sqrt{x}）^{2}}{（\sqrt{x+1}+\sqrt{x}）（\sqrt{x+1}-\sqrt{x}）}$+$\frac{（\sqrt{x+1}+\sqrt{x}）^{2}}{（\sqrt{x+1}-\sqrt{x}）（\sqrt{x+1}+\sqrt{x}）}$
=x+1-2$\sqrt{x（x+1）}$+x+x+1+2$\sqrt{x（x+1）}$+x
=4x+2
=4×2+2
=10．

點評 本題考查了分母有理化、解一元一次方程、二次根式的化簡求出值等知識點，能正確分母有理化和求出x的值是解此題的關鍵．