Question

5．如圖所示，在平面直角坐標系中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上兩點，經過點A，C，B的拋物線的一部分C₁與經過點A，D，B的拋物線的一部分C₂組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．
已知點C的坐標為（0，-$\frac{3}{2}$），點M是拋物線C₂：y=mx²-2mx-3m（m＜0）的頂點
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求經過點A，C，B的拋物線C₁的函數表達式．
（3）探究“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把拋物線解析整理，令y=0可求得x的值，則可求得A、B的坐標；
（2）由A、B、C的坐標，利用待定系數法可求得經過點A、B、C的拋物線解析式；
（3）連接BC、過點P作PQ∥y軸，交BC于點Q，由B、C的坐標可求得直線BC的解析式，則可設出P點坐標，從而表示出Q點坐標，則可求得PQ的長，從而用P點坐標表示出△PBC的面積，利用二次函數的性質可求得P點坐標和△PBC面積的最大值．

解答 解：
（1）∵y=mx²-2mx-3m=m（x-3）（x+1），且m≠0，
∴當y=0時，可得m（x-3）（x+1）=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）設過A、B、C三點的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則有$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線C₁解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$；

（3）如圖，過點P作PQ∥y軸，交BC于Q，

設直線BC解析式為y=kx+s，則有$\left\{\begin{array}{l}{3k+s=0}\\{s=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{s=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
設P（x，$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$），則Q（x，$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$），
∴PQ=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$-（$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x）×3=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{16}$，
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴當x=$\frac{3}{2}$時，S_△PBC有最大值，S_最大=$\frac{27}{16}$，此時P點縱坐標為$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$）²-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=-$\frac{15}{8}$，
此時P點坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{8}$）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及一元二次方程、待定系數法、三角形的面積、二次函數的性質及方程思想的應用等知識．在（1）中把拋物線解析式因式分解可求得A、B的坐標，在（2）中求得拋物線C₁的解析式，用P點的坐標表示出△PBC的面積是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．