Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x²-2x-3的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點在原點右側，與y軸交于C點，點P是x軸下方的拋物線上的一動點．
（1）求A、B、C三點坐標；
（2）當點P運動到什么位置時，CP∥AB，且AC=BP，直接寫出此時P點的坐標：P（2，-3）
（3）連接PO、PC，并把拋物線沿CO翻折，此時，可得到四邊形POP'C，那么，是否存在點P，使四邊形POP'C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數y=x²-2x-3的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點在原點右側，與y軸交于C點，從而可以求得A、B、C三點坐標；
（2）根據二次函數的圖象具有對稱性，由點C的坐標和對稱軸即可得到點P的坐標；
（3）根據菱形的性質和二次函數圖象上點的特征，翻折的性質即可求得使四邊形POP'C為菱形的點P的坐標．

解答 解：（1）∵y=x²-2x-3，
∴當y=0時，0=x²-2x-3，得x₁=-1，x₂=3，
當x=0時，y=-3，
∴點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，-3）；
（2）∵CP∥AB，且AC=BP，點C（0，-3），y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴點P的坐標為（2，-3），
故答案為：（2，-3）；
（3）存在點P，使四邊形POP'C為菱形，
∵四邊形POP'C為菱形，
∴PP′⊥OC，且PP′平分OC，
∵點O（0，0），點C（0，-3），
∴點P的縱坐標為y=-1.5，
將y=-1.5代入y=x²-2x-3，得
-1.5=x²-2x-3，
解得，x₁=$1+\frac{\sqrt{10}}{2}$，x₂=$1-\frac{\sqrt{10}}{2}$，
即點P的坐標為（$1+\frac{\sqrt{10}}{2}，-1.5$）或（$1-\frac{\sqrt{10}}{2}，-1.5$）．

點評 本題考查二次函數綜合題、菱形的性質、翻折的性質，解答此類問題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合和二次函數以及翻折的性質解答．