Question

11．如果一個正整數能表示成兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”．如4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，則說明4，12，20都是神秘數．
（1）28和2012是神秘數嗎？為什么？
（2）設兩個連續偶數為2k和2k+2（k為非負整數），由這兩個連續偶數構成的神秘數是4的倍數嗎？
（3）兩個連續奇數（取正整數）的平方差是神秘數嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）根據“神秘數”的定義，只需看能否把28和2012這兩個數寫成兩個連續偶數的平方差即可判斷；
（2）運用平方差公式進行計算，進而判斷即可；
（3）運用平方差公式進行計算，進而判斷即可．

解答 解：（1）∵28=8²-6²，2012=504²-502²，
∴28是“神秘數”；2012是“神秘數”；
（2）兩個連續偶數構成的“神秘數”是4的倍數．理由如下：
（2k+2）²-（2k）²=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴兩個連續偶數構成的“神秘數”是4的倍數，
∵2k+1是奇數，
∴它是4的倍數，不是8的倍數；
（3）設兩個連續的奇數為：2k+1，2k-1，則
（2k+1）²-（2k-1）²=8k，
此數是8的倍數，而由（2）知“神秘數”是4的倍數，但不是8的倍數，
所以兩個連續的奇數的平方差不是神秘數．

點評 此題主要考查了平方差公式的應用，此題是一道新定義題目，熟練記憶平方差公式是解題關鍵．