Question

2．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點P、Q分別在射線CB、AC上（點P不與點C、點B重合），且保持∠APQ=∠ABC．
①若點P在線段CB上（如圖），且BP=6，求線段CQ的長；
②若BP=x，CQ=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求線段CQ的長，根據已知條件AB=AC，∠APQ=∠ABC知道，可以先證明△QCP∽△PBA，由比例關系式得出；
（2）要求y與x之間的函數關系式，以及函數的定義域，需要分兩種情況進行討論：BP在線段CB上，或在CB的延長線上，根據實際情況證明△QCP∽△ABP，根據相似三角形的性質求出比例式，進而得出y與x之間的函數關系式．

解答 解：（1）∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，
∴∠BAP=∠CQP，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△CPQ∽△BAP，
∴$\frac{CQ}{BP}$=$\frac{CP}{AB}$，
∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8-6=2，
∴$\frac{CQ}{6}$=$\frac{2}{5}$，
∴CQ=$\frac{12}{5}$；

（2）分兩種情況：
若點P在線段CB上，由（1）知$\frac{CQ}{BP}$=$\frac{CP}{AB}$，
∵BP=x，BC=8，
∴CP=BC-BP=8-x，
又∵CQ=y，AB=5，
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{8-x}{5}$，即y=-$\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{8}{5}x$．
故所求的函數關系式為y=-$\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{8}{5}x$（0＜x＜8）；

若點P在線段CB的延長線上，如圖所示：

∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，
∴∠CPQ=∠PAB，
又∵∠ABP=180°-∠ABC，∠PCQ=180°-∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABP=∠PCQ，
∴△QCP∽△PBA，
∴$\frac{BP}{CQ}$=$\frac{AB}{PC}$，
∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{5}{8+x}$，即y=$\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{8}{5}x$（x≥8），
故所求的函數關系式為y=$\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{8}{5}x$（x≥8）．

點評 本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質以及二次函數的綜合應用，根據相似三角形的對應邊成比例，利用圖形間的“和差“關系是解決問題的關鍵．解題時注意分類思想的運用．