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11.如圖,在△ABC中,AC=BC,∠BCA=90°,點E是斜邊AB上的一個動點(不與A、B重合),作EF⊥AB交邊BC于點F,聯結AF、EC交于點G.
(1)求證:△BEC∽△BFA;
(2)若BE:EA=1:2,求∠ECF的余弦值.

分析 (1)根據已知條件得到△BEF∽△ABC,根據相似三角形的性質得到$\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{AB}$,根據相似三角形判定定理即可得到結論;
(2)由已知條件的$\frac{EF}{AE}=\frac{1}{2}$,根據三角函數的定義得到tan∠EAF=$\frac{1}{2}$,根據相似三角形的性質得到∠BAF=∠BCE,即可得到結論.

解答 解:(1)∵在△ABC中,AC=BC,∠BCA=90°,
∵EF⊥AB,
∴∠BEF=90°,
∵∠B=∠B,
∴△BEF∽△ABC,
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{AB}$,
∴△△BEC∽△BFA;

(2)∵BE=EF,BE:EA=1:2,
∴$\frac{EF}{AE}=\frac{1}{2}$,
∴tan∠EAF=$\frac{1}{2}$,
設EF=k,AE=2k,
∴AF=$\sqrt{5}$,
∵△BEC∽△BFA,
∴∠BAF=∠BCE,
∴cos∠ECF=cos∠EAF=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質,銳角三角函數的定義,等腰直角三角形的性質,熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

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