Question

11．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，點E是斜邊AB上的一個動點（不與A、B重合），作EF⊥AB交邊BC于點F，聯結AF、EC交于點G．
（1）求證：△BEC∽△BFA；
（2）若BE：EA=1：2，求∠ECF的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件得到△BEF∽△ABC，根據相似三角形的性質得到$\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{AB}$，根據相似三角形判定定理即可得到結論；
（2）由已知條件的$\frac{EF}{AE}=\frac{1}{2}$，根據三角函數的定義得到tan∠EAF=$\frac{1}{2}$，根據相似三角形的性質得到∠BAF=∠BCE，即可得到結論．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△ABC，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{AB}$，
∴△△BEC∽△BFA；

（2）∵BE=EF，BE：EA=1：2，
∴$\frac{EF}{AE}=\frac{1}{2}$，
∴tan∠EAF=$\frac{1}{2}$，
設EF=k，AE=2k，
∴AF=$\sqrt{5}$，
∵△BEC∽△BFA，
∴∠BAF=∠BCE，
∴cos∠ECF=cos∠EAF=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，銳角三角函數的定義，等腰直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．