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2.如圖,在射線BA、BC、AD、CD圍成的菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6$\sqrt{3}$,O是射線BD上一點(diǎn),⊙O與BA、BC都相切、與BO的延長線交于點(diǎn)M.過M作EF⊥BD交線段BA(或線段AD)于點(diǎn)E、交線段BC(或線段CD)于點(diǎn)F.以EF為邊作矩形EFGH,點(diǎn)G、H分別在圍成菱形的另外兩條線段上.
(1)求證:BO=2OM;
(2)當(dāng)矩形EFGH的面積為24$\sqrt{3}$時,求⊙O的半徑.

分析 (1)設(shè)⊙O切AB于點(diǎn)P,連接OP,由切線的性質(zhì)可知∠OPB=90°.先由菱形的性質(zhì)求得∠OBP的度數(shù),然后依據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)證明即可;
(2)設(shè)GH交BD于點(diǎn)N,連接AC,交BD于點(diǎn)Q.先依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求得BD的長,設(shè)⊙O的半徑為r,則OB=2r,MB=3r.當(dāng)點(diǎn)E在AB上時.在Rt△BEM中,依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到EM的長(用含r的式子表示),由圖形的對稱性可得到EF、ND、BM的長(用含r的式子表示,從而得到MN=18-6r,接下來依據(jù)矩形的面積列方程求解即可;當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上時.BM=3r,則MD=18-3r,最后由MB=3r=12列方程求解即可.

解答 解:(1)如圖1所示:設(shè)⊙O切AB于點(diǎn)P,連接OP,則∠OPB=90°.

∵四邊形ABCD為菱形,
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∴OB=2OP.
∵OP=OM,
∴BO=2OP=2OM.
(2)如圖2所示:設(shè)GH交BD于點(diǎn)N,連接AC,交BD于點(diǎn)Q.

∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD.
∴BD=2BQ=$\sqrt{3}$AB=18.
設(shè)⊙O的半徑為r,則OB=2r,MB=3r.
①如圖2所示,當(dāng)點(diǎn)E在AB上時.
在Rt△BEM中,EM=$\sqrt{3}$ r.由對稱性得:EF=2EM=2$\sqrt{3}$r,ND=BM=3r.
∴MN=18-6r.
∴S矩形EFGH=EF•MN=2$\sqrt{3}$r(18-6r)=24$\sqrt{3}$.
解得:r1=1,r2=2.   
如圖3所示:

點(diǎn)E在AD邊上時.BM=3r,則MD=18-3r.
由對稱性可知:NB=MD=6.(根據(jù)圖2知),
∴MB=3r=18-6=12.
解得:r=4.
綜上所述,⊙O的半徑為1或2或4.

點(diǎn)評 本題主要考查了菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用、矩形的面積公式,根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵.

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