Question

10．如圖，平面直角坐標系中有一四邊形ABCD，直線m是四邊形ABCD的對稱軸，它與x軸相交于點E（1，0），頂點A（-1，0）的對稱點為點B，頂點D（0，3）的對稱點為點C．
（1）點B的坐標是（3，0），點C的坐標是（2，3）；
（2）在直線m上是否存在一點M，使得△MBC的周長最短？若存在，求出點M的坐標及△MBC的最短周長；若不存在，請說明理由．
（3）若直線m繞點E旋轉360°，旋轉過程中m將四邊形ABCD分成面積為1：5的兩部分，求此時直線m的函數表達式．

Answer 1

分析 （1）根據對稱性寫出B、C兩點的坐標；
（2）因為C與D是對稱點，所以連接BD與直線m的交點就是所求的點M，此時△MBC的周長最短，分別利用勾股定理求出BD和BC的長，相加即可；
（3）先求四邊形ABCD的面積為9，因為直線m繞點E旋轉360°，則某一三角形的一邊為AE或BE，且AE=BE=2，因為分成面積為1：5的兩部分，而S_△ADE和S_△BCE為3，所以該直線在直線DE或直線CE的下方，根據面積可分別求出對應的高FG=$\frac{3}{2}$，要兩種情況分別求出直線m的解析式．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD的對稱軸是：直線m=1，
由對稱得：B（3，0），C（2，3），
故答案為：（3，0）；（2，3）；
（2）連接BD交直線m于M，連接CM，此時△MBC的周長最短，
∵m是對稱軸，
∴m是線段CD的中垂線，
∴DM=CM，
∴CM+BM=DM+BM，
在Rt△DOB中，∵OD=3，OB=3，
∴BD=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴CM+BM=BD=3$\sqrt{2}$，
過C作CF⊥x軸于F，
∵C（2，3），B（3，0），
∴BF=3-2=1，CF=3，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{B{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴△BMC的周長=CM+BM+BC=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$；
（3）由題意得：四邊形ABCD為梯形
∴S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$（DC+AB）×OD=$\frac{1}{2}$×（2+4）×3=9
∵旋轉過程中m將四邊形ABCD分成面積為1：5的兩部分，
分兩種情況：
①如圖2，S_△AFE：S_{五邊形EFDCB}=1：5，
過F作FG⊥AB于G，
∴S_△AFE=$\frac{1}{2}$×2×FG=9×$\frac{1}{6}$，
∴FG=$\frac{3}{2}$，
∵FG∥OD，
∴△AFG∽△ADO，
∴$\frac{FG}{OD}=\frac{AG}{AO}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{AG}{1}$，
∴AG=$\frac{1}{2}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$，
∴F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
設直線m的解析式為：y=kx+b，
把F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），E（1，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}k+b=\frac{3}{2}}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線m的解析式為：y=-x+1；
②如圖3，S_{五邊形AEFCD}：S_△BEF=5：1，
過F作FG⊥AB于G，過C作CH⊥AB于H，則FG∥CH，
同理可求得：FG=$\frac{3}{2}$，BG=$\frac{1}{2}$，
∴OG=OB-BG=3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴F（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$），
設直線m的解析式為：y=kx+b，
把F（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）、E（1，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}k+b=\frac{3}{2}}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線m的解析式為：y=x-1，
綜上所述，此時直線m的函數表達式為y=-x+1或y=x-1．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了梯形、軸對稱、相似三角形的性質和判定、以及最短路徑問題，明確對稱軸是對稱點連線的中垂線，熟練掌握三角形相似的判定和性質，與函數相結合，利用待定系數法求一次函數的解析式，第3問難度較大，運用了分類討論的思想，注意分成面積為1：5的兩部分，利用數形結合的思想解決此問題．