Question

19．如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，E在弧AD上一點(diǎn)．
（1）若∠C=110°，求∠E的度數(shù)；
（2）若∠E=∠C，求證：△ABD為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可得出∠BAD，再由AB=AD，得出由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)即可得出∠E的度數(shù)；
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)，可得出∠BAD=∠C，∠E=∠ABD，再由已知條件∠E=∠C，得出∠BAD=∠ABD，從而得出：△ABD為等邊三角形．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=110°，
∴∠BAD=70°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=55°，
∵四邊形ABDE內(nèi)接于⊙O，
∴∠ABD+∠E=180°，
∴∠E=125°；
（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
所以∠BAD+∠C=180°，
因?yàn)樗倪呅蜛BDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，
所以∠ABD+∠E=180°，
又因?yàn)椤螮=∠C，
所以∠BAD=∠ABD，
所以AD=BD，
因?yàn)锳B=AD，
所以AD=BD=AD，
所以△ABD為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．