Question

（6分）先閱讀，再回答問題：如圖1，已知△ABC中，AD為中線．延長AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），進一步可得到AB=CE，AB∥CE等結論．

在已知三角形的中線時，我們經常用“倍長中線”的輔助線來構造全等三角形，并進一步解決一些相關的計算或證明題．

解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，F為AD上一點，且BF=AC，連結并延長BF交AC于點E，求證：AE=EF．

 

 

Answer 1

證明見試題解析．

【解析】

試題分析：延長AD到G，使DF=DG，連接CG，求出BD=DC，根據SAS推出△BDF≌△CDG，根據全等三角形的性質得出BF=CG，∠BFD=∠G，求出∠AFE=∠G，CG=AC，推出∠G=∠CAF，求出∠AFE=∠CAF即可．

試題解析：延長AD到G，使DF=DG，連接CG，

∵AD是中線，∴BD=DC，

在△BDF和△CDG中，∵BD=DC，∠BDF=∠CDG，DF=DG，∴△BDF≌△CDG，

∴BF=CG，∠BFD=∠G，

∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=∠G，

∵BF=CG，BF=AC，∴CG=AC，∴∠G=∠CAF，∴∠AFE=∠CAF，∴AE=EF．

考點：全等三角形的判定與性質．