Question

4．如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=80°，AD為∠BAC的角平分線，G、E分別是AC、BG的中點，AF⊥BC于F．求：
（Ⅰ）∠ABC的大小； 
（Ⅱ）∠DAF的大小； 
（Ⅲ）△AEC的面積與△ABE的面積的比值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據三角形的內角和即可得到結論；
（Ⅱ）由AD為∠BAC的角平分線，得到∠BAD=$\frac{1}{2}∠BAC=40°$，由三角形外角的性質得到∠ADB=∠ABC+∠BAD=80°，根據三角形的內角和即可得到結論；
（Ⅲ）根據三角形的面積公式即可得到結論．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=80°，
∴∠ABC=180°-60°-80°=40°；
（Ⅱ）∵AD為∠BAC的角平分線，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}∠BAC=40°$，
∴∠ADB=∠ABC+∠BAD=80°，
∵AF⊥BC，
∴∠AFD=90°，
∴∠DAF=10°，
（Ⅲ）∵G、E分別是AC、BG的中點，
∴△AEC的面積=$\frac{1}{2}$S_△ABC，△ABE的面積=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴△AEC的面積與△ABE的面積的比值=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了角平分線的定義，垂直的定義，三角形的內角和，三角形的外角的性質，熟練掌握三角形的內角和是解題的關鍵．