Question

5．如圖，四邊形ABCD為正方形，EB∥AC，EC=AC，E在FB上，求∠ECB的度數．

Answer 1

分析 過點C作CF⊥BE，垂足為F．設正方形的邊長為a，可求得EC=AC=$\sqrt{2}a$，然后再證明△BCF為等腰直角三角形，可求得CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，利用特殊銳角三角函數值可求得∠CEB=30°，然后依據∠ECB=∠CBF-∠CEB求解即可

解答 解：過點C作CF⊥BE，垂足為F．

設正方形的邊長為a，依據勾股定理可知AC=$\sqrt{2}a$，則CE=$\sqrt{2}$a．
∵ABCD為正方形，BE∥AC，
∴∠CBF=∠ACB=45°．
∴△BFC為等腰直角三角形．
∴CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
在Rt△CFE中，sin∠CEF=$\frac{1}{2}$，
∴∠CEF=30°．
∵∠CEB+∠EBC=∠CBF=45°，
∴∠ECB=15°．

點評 本題主要考查的是正方形的性質，等腰直角三角形的性質和判定，掌握本題的輔助線的作法是解題的關鍵．