Question

5．如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)M，N分別是射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，OP平分∠AOB，且OP=6，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)M、N在CD上時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最小，此時(shí)△COD是等邊三角形，設(shè)MQ=x，則PM=CM=3-x，根據(jù)勾股定理得到x，進(jìn)一步求得MN的長(zhǎng)．

解答 解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PC、PD．
∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6，
∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴CD=OC=OD=6．
∵∠POC=∠POD，
∴OP⊥CD，
∴OQ=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴PQ=6-3$\sqrt{3}$，
設(shè)MQ=x，則PM=CM=3-x，
∴（3-x）²-x²=（6-3$\sqrt{3}$）²，解得x=6$\sqrt{3}$-9．
則MN=2x=18$\sqrt{3}$-18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、最短路線問題、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．