Question

6．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，點P從點A出發，以每秒5個單位的速度向點B勻速運動，同時點Q從點C出發．向點A勻速運動，結果兩點同時到目的地．設運動的時間為1．
（1）求點Q的運動速度．
（2）當t為何值時，PQ=5？
（3）在點P，Q的運動過程中，求線段PQ中點的運動路徑長．

Answer 1

分析 （1）先根據勾股定理，求得AB長，進而得到點P運動到點B所需的時間，最后計算點Q的運動速度即可；
（2）過點P作PD⊥AC于D，則PD∥BC，根據相似三角形的性質，得出PD=3t，AD=4t，再根據CQ=4t，得到DQ=12-4t-4t=12-8t，最后根據勾股定理得到（3t）²+（12-8t）²=5²，解得t=1或$\frac{119}{73}$即可；
（3）以A為原點，AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，當t=0時，點PQ的中點O₁的坐標為（6，0），當t=3時，點PQ的中點O₂的坐標為（6，$\frac{9}{2}$），進而得到直線O₁O₂的解析式為x=6，再根據點Q（12-4t，0），P（4t，3t），得到在運動過程中，線段PQ中點O的坐標為（$\frac{12-4t+4t}{2}$，$\frac{3}{2}$t），即O（6，$\frac{3}{2}$t），進而得出點O在線段O₁O₂上，最后根據三角形中位線定理，求得O₁O₂=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{9}{2}$，即可得到線段PQ中點的運動路徑長．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AC=12，BC=9，
∴Rt△ABC中，AB=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15，
∴點P運動到點B時，t=$\frac{15}{5}$=3秒，
∴點Q的運動速度=$\frac{12}{3}$=4單位/秒；

（2）如圖，過點P作PD⊥AC于D，則PD∥BC，
∴△ADP∽△ACB，
∴AP：AD：DP=AB：AC：BC=5：4：3，
∵AP=5t，
∴PD=3t，AD=4t，
又∵CQ=4t，
∴DQ=12-4t-4t=12-8t，
當PQ=5時，
∵Rt△PDQ中，PD²+DQ²=PQ²，
∴（3t）²+（12-8t）²=5²，
解得t=1或$\frac{119}{73}$，
∴當t=1或$\frac{119}{73}$秒時，PQ=5；

（3）如圖，以A為原點，AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，
依題意可知0≤t≤3，
當t=0時，點PQ的中點O₁的坐標為（6，0），
當t=3時，點PQ的中點O₂的坐標為（6，$\frac{9}{2}$），
∴直線O₁O₂的解析式為x=6，
∵CQ=4t，AP=5t，
∴AQ=12-4t，AD=4t，PD=3t，
∴點Q（12-4t，0），P（4t，3t），
∴在運動過程中，線段PQ中點O的坐標為（$\frac{12-4t+4t}{2}$，$\frac{3}{2}$t），即O（6，$\frac{3}{2}$t），
∴點O在線段O₁O₂上，
∴即線段PQ中點的運動路徑為線段O₁O₂，
∵P，Q兩點同時出發，同時到目的地，
∴O₁和O₂分別是AC和AB的中點，
∴O₁O₂=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{9}{2}$，
∴線段PQ中點的運動路徑長為$\frac{9}{2}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質，三角形中位線定理以及中點公式的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造相似三角形，運用數形結合思想進行求解．