Question

14．己知D、E、F分別為△ABC三邊的中點．
（1）如圖1，AF與DE交于點M，求證：M為DE的中點；
（2）如圖2，P為EF的中點，延長AP、DF交于點Q，求證：CP∥BQ；
（3）如圖3，若P不是EF的中點，（2）中的結論是否仍然成立？寫出你的結論并證明．

Answer 1

分析 （1）連接DF，EF，根據三角形中位線定理，得出DF∥AE，EF∥AD，即可判定四邊形ADFE是平行四邊形，進而得出DE與AF互相平分，從而得出結論；
（2）延長EF交BQ于G，根據三角形中位線定理以及平行線分線段成比例定理，即可得出PF=GF，進而判定△CPF≌△BGF（SAS），得出∠PCF=∠GBF，最后根據平行線的判定，得出CP∥BQ；
（3）延長EF交BQ于G，根據三角形中位線得出PG∥AB，再根據平行線分線段成比例定理，得到$\frac{PF}{AD}$=$\frac{QF}{QD}$=$\frac{GF}{BD}$，再根據AD=BD，即可得到PF=GF，最后判定△CPF≌△BGF（SAS），得出∠PCF=∠GBF，即可得到CP∥BQ．

解答 解：（1）如圖1，連接DF，EF，
∵D、E、F分別為△ABC三邊的中點，
∴DF，EF都是△ABC 的中位線，
∴DF∥AE，EF∥AD，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，
∴DE與AF互相平分，
∴M為DE的中點；

（2）證明：如圖2，延長EF交BQ于G，
由（1）可得EF是△ABC 的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=BD，
又∵P是EF的中點，
∴PF=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$AD，
∵EG∥AB，
∴$\frac{PF}{AD}$=$\frac{QF}{QD}$=$\frac{GF}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴GF=$\frac{1}{2}$BD，
又∵BD=AD，
∴PF=GF，
在△CPF和△BGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PF=GF}\\{∠PFC=∠GFB}\\{CF=BF}\end{array}\right.$，
∴△CPF≌△BGF（SAS），
∴∠PCF=∠GBF，
∴CP∥BQ；

（3）CP∥BQ仍成立．
證明：如圖3，延長EF交BQ于G，
由（1）可得，EF是△ABC 的中位線，
∴EF∥AB，即PG∥AB，
∴$\frac{PF}{AD}$=$\frac{QF}{QD}$=$\frac{GF}{BD}$，
又∵AD=BD，
∴PF=GF，
在△CPF和△BGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PF=GF}\\{∠PFC=∠GFB}\\{CF=BF}\end{array}\right.$，
∴△CPF≌△BGF（SAS），
∴∠PCF=∠GBF，
∴CP∥BQ．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質以及平行線分線段成比例定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線，構造平行四邊形以及全等三角形，根據全等三角形的對應角相等進行推導．解題時注意：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．