Question

9．如圖1，在四邊形ABCD中，∠DAB被對角線AC平分，且AC²=AB•AD．我們稱該四邊形為“可分四邊形”，∠DAB稱為“可分角”．
（1）如圖2，在四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，且∠BCD=150°，求證：四邊形ABCD為“可分四邊形”；
（2）如圖3，四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，如果∠DCB=∠DAB，則求∠DAB的度數；
（3）現有四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，且AC=4，則△DAB的最大面積等于8．

Answer 1

分析 （1）由已知得出∠DAC=∠CAB=30°，由三角形內角和定理得出∠D+∠ACD=150°，由∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，得出∠D=∠ACB，證明△ADC∽△ACB．得出對應邊成比例，得出AC²=AB•AD，即可得出結論；
（2）由已知條件可證得△ADC∽△ACB，得出D=∠ACB，再由已知條件和三角形內角和定理得出∠DAC+2∠DAC=180°，求出∠DA=60°，即可得出∠DAB的度數；
（3）根據“可分四邊形”的定義求出AB•AD，計算即可．

解答 （1）證明：∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB=30°，
∴∠D+∠ACD=180°-30°=150°，
∵∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，
∴∠D=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB．
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AB•AD，
∴四邊形ABCD為“可分四邊形”；
（2）解：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵AC²=AB•AD，
∴AD：AC=AC：AB，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠D=∠ACB，
∵∠DCB=∠DAB，
∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=2∠DAC，
∵∠DAC+∠D+∠ACB=180°，
∴∠DAC+2∠DAC=180°，
解得：∠DAC=60°，
∴∠DAB=120°；
（3）∵四邊形ABCD為“可分四邊形”，AC=4，
∴AB•AD=AC²=16，
當DA⊥DB時，△DAB的最大，最大面積為8，
故答案為：8．

點評 此題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質、三角形內角和定理、勾股定理、新定義四邊形等知識；熟練掌握新定義四邊形，證明三角形相似是解決問題的關鍵．