Question

4．當x≥1時，不等式|x+1|+$\sqrt{x-1}$≥m-|x-2|恒成立，那么實數m的最大值是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 當x≥1時，不等式|x+1|+$\sqrt{x-1}$≥m-|x-2|恒成立，可以得到m≤|x+1|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|，然后只要求出|x+1|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|的最小值即可求得m的最大值，本題得以解決．

解答 解：∵|x+1|+$\sqrt{x-1}$≥m-|x-2|，
∴m≤|x+1|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|，
設y=|x+1|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|，
當1≤x＜2時，y=x+1+$\sqrt{x-1}$+2-x=3+$\sqrt{x-1}$≥3，
當x≥2時，y=x+1+$\sqrt{x-1}$+x-2=2x+$\sqrt{x-1}$-1≥4，
∴y的最小值是3，
∵當x≥1時，不等式|x+1|+$\sqrt{x-1}$≥m-|x-2|恒成立，
∴m的最大值是3，
故選C．

點評 本題考查絕對值函數的最值，解答此類問題的關鍵是明確題意，將求m的最大值轉化為求|x+1|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|的最小值，利用分類討論的數學思想解答．