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4.當x≥1時,不等式|x+1|+$\sqrt{x-1}$≥m-|x-2|恒成立,那么實數m的最大值是( 。
A.1B.2C.3D.4

分析 當x≥1時,不等式|x+1|+$\sqrt{x-1}$≥m-|x-2|恒成立,可以得到m≤|x+1|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|,然后只要求出|x+1|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|的最小值即可求得m的最大值,本題得以解決.

解答 解:∵|x+1|+$\sqrt{x-1}$≥m-|x-2|,
∴m≤|x+1|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|,
設y=|x+1|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|,
當1≤x<2時,y=x+1+$\sqrt{x-1}$+2-x=3+$\sqrt{x-1}$≥3,
當x≥2時,y=x+1+$\sqrt{x-1}$+x-2=2x+$\sqrt{x-1}$-1≥4,
∴y的最小值是3,
∵當x≥1時,不等式|x+1|+$\sqrt{x-1}$≥m-|x-2|恒成立,
∴m的最大值是3,
故選C.

點評 本題考查絕對值函數的最值,解答此類問題的關鍵是明確題意,將求m的最大值轉化為求|x+1|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|的最小值,利用分類討論的數學思想解答.

練習冊系列答案
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