Question

13．如圖，已知△ABC，AB=AC=2，∠A=36°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，則AD的長是$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 證明△DBC∽△BAC，得到點D是AC的黃金分割點，根據黃金分割的概念解答即可．

解答 解：∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠BDC=72°，
∴DA=DB=BC，
∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△DBC∽△BAC，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CD}{BC}$，即BC²=CD•AC，
∴AD²=CD•AC，
∴點D是AC的黃金分割點，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AC=$\sqrt{5}$-1，
故答案為：$\sqrt{5}$-1．

點評 本題考查的是等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性質、黃金分割的概念，掌握黃金比值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是解題的關鍵．