Question

8．已知如圖，∠COD=90°，直線AB與OC交于點B，與OD交于點A，射線OE和射線AF交于點G．
（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=36°，則∠OGA=18°．
（2）若∠GOA=$\frac{1}{3}$∠BOA，∠GAD=$\frac{1}{3}$∠BAD，∠OBA=36°，則∠OGA=12°．
（3）將（2）中“∠OBA=36°”改為“∠OBA=β”，其余條件不變，則∠OGA=$\frac{1}{3}β$（用含β的代數式表示）．
（4）若OE將∠BOA分成1：2兩部分，AF平分∠BAD，∠ABO=β（30°＜β＜90°）求∠OGA的度數（用含β的代數式表示）．

Answer 1

分析 （1）根據三角形外角的性質求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根據三角形外角性質求出即可；
（2）根據三角形外角的性質求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根據三角形外角性質求出即可；
（3）根據三角形外角的性質求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根據三角形外角性質求出即可；
（4）討論：當∠EOD：∠COE=1：2時，利用∠BAD=∠ABO+∠BOA=β+90°，∠FAD=∠EOD+∠OGA得到2×30°+2∠OGA=β+90°，則∠OGA=$\frac{1}{2}β$+15°；當∠EOD：∠COE=2：1時，則∠EOD=60°，同理得∠OGA=$\frac{1}{2}β$-15°．

解答 解：（1）∵∠BOA=90°，∠OBA=36°，
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=126°，
∵AF平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA=90°，
∴∠GAD=$\frac{1}{2}$∠BAD=63°，∠EOA=$\frac{1}{2}$∠BOA=45°，
∴∠OGA=∠GAD-∠EOA=63°-45°=18°；
故答案為18°；
（2）∵∠BOA=90°，∠OBA=36°，
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=126°，
∵∠BOA=90°，∠GOA=$\frac{1}{3}$∠BOA，∠GAD=$\frac{1}{3}$∠BAD
∴∠GAD=42°，∠EOA=30°，
∴∠OGA=∠GAD-∠EOA=42°-30°=12°；
故答案為12°；
（3）∵∠BOA=90°，∠OBA=β，
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=90°+β，
∵∠BOA=90°，∠GOA=$\frac{1}{3}$∠BOA，∠GAD=$\frac{1}{3}$∠BAD
∴∠GAD=30°+$\frac{1}{3}β$，∠EOA=30°，
∴∠OGA=∠GAD-∠EOA=$\frac{1}{3}$β，
故答案為：$\frac{1}{3}$β；
（4）當∠EOD：∠COE=1：2時，
則∠EOD=30°，
∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=β+90°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∵∠FAD=∠EOD+∠OGA，
∴2×30°+2∠OGA=β+90°，
∴∠OGA=$\frac{1}{2}$β+15°；
當∠EOD：∠COE=2：1時，則∠EOD=60°，
同理得到∠OGA=$\frac{1}{2}β$-15°，
即∠OGA的度數為$\frac{1}{2}β$+15°或$\frac{1}{2}β$-15°．

點評 本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和為180°．也考查了三角形外角性質．