Question

15．如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線．
（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度數．
（2）若∠C＞∠B，猜想∠DAE與∠C-∠B之間的數量關系，并直接寫出結論．

Answer 1

分析 （1）先根據三角形內角和得到∠CAB=180°-∠B-∠C=100°，再根據角平分線與高線的定義得到∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=50°，∠ADC=90°，則∠CAD=90°-∠C=40°，然后利用∠DAE=∠CAE-∠CAD計算即可．
（2）根據題意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，從而可以得到∠DAE與∠C-∠B的關系．

解答 解：∵∠ABC=30°，∠ACB=50°，
∴∠CAB=180°-∠B-∠C=100°，
∵AE是△ABC角平分線，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=50°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠C=40°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°．

（2）∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠ABC），
理由：∵在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，
∴∠CAB=180°-∠B-∠C，∠CAD=90°-∠C，∠CAE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C），
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

點評 本題考查三角形內角和定理、角的平分線的性質、直角三角形的性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．