Question

20．已知拋物線經過A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S，求S關于m的函數關系式，并求S的最大值；
（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=-x上的動點，使得點P、Q、B、O的四邊形為平行四邊形，求Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）先假設出函數解析式，利用三點法求解函數解析式．
（2）設出M點的坐標，利用S=S_△AOM+S_△OBM-S_△AOB即可進行解答；
（3）當OB是平行四邊形的邊時，表示出PQ的長，再根據平行四邊形的對邊相等列出方程求解即可；當OB是對角線時，由圖可知點A與P應該重合．

解答 解：（1）設此拋物線的函數解析式為：y=ax²+bx+c（a≠0）．
將A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三點代入函數解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{c=-4}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
所以此函數解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²+x=4．
（2）如圖所示：

∵M點的橫坐標為m，且點M在這條拋物線上，
∴M點的坐標為：（m，$\frac{1}{2}$），
∴S=S_△AOM+S_△OBM-S_△AOB
=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$m²-m+4）+$\frac{1}{2}$×4×（-m）-$\frac{1}{2}$×4×4
=-m²-2m+8-2m-8
=-m²-4m，
=-（m+2）²+4，
∵-4＜m＜0，
當m=-2時，S有最大值為：S=-4+8=4．
答：m=-2時S有最大值S=4．
（3）設P（x，$\frac{1}{2}$x²+x-4）．
當OB為邊時，根據平行四邊形的性質知PQ∥OB，且PQ=OB，
∴Q的橫坐標等于P的橫坐標，
又∵直線的解析式為y=-x，
則Q（x，-x）．
由PQ=OB，得|-x-（$\frac{1}{2}$x²+x-4）|=4，
解得x=0，-4，-2±2$\sqrt{5}$．
x=0不合題意，舍去．
如圖，當BO為對角線時，知A與P應該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標為4，代入y=-x得出Q為（4，-4）．
由此可得Q（-4，4）或（-2+2$\sqrt{5}$，2-2$\sqrt{5}$）或（-2-2$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$）或（4，-4）．

點評 此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法求拋物線解析式，坐標與圖形性質，三角形及梯形的面積求法，以及二次函數的性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解本題的關鍵，在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論求得結果．