Question

11．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上（異于A、B兩點），AD⊥CD．
①若BC=3，AB=5，求AC的長？
②若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD與⊙O相切．

Answer 1

分析 ①首先根據直徑所對的圓周角為直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的長即可；
②連接OC，證OC⊥CD即可；利用角平分線的性質和等邊對等角，可證得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得證．

解答 解：①∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵BC=3，AB=5，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4；
②證明：連接OC，
∵AC是∠DAB的角平分線，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切線．

點評 此題主要考查的是切線的判定方法．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．