Question

3．當-1≤x≤2時，二次函數y=x²+2mx+m+2，有最小值-3，則實數m的值為（　�。�

• A． $\frac{1+\sqrt{21}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$
• B． 6或-$\frac{9}{5}$
• C． 6或$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$
• D． 6或-$\frac{9}{5}$或$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$或$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$

Answer 1

分析 y=x²+2mx+m+2=（x+m）²-m²+m+2，知拋物線的對稱軸為直線x=-m，且當x＜-m時，y隨x的增大而減小，當x＞-m時，y隨x的增大而增大，再分①-m≥2，即m≤-2；②-1＜-m＜2，即-2＜m＜1；③-m≤-1，即m≥1；分別根據二次函數的性質求解可得．

解答 解：∵y=x²+2mx+m+2=（x+m）²-m²+m+2，
∴拋物線的對稱軸為直線x=-m，
∴當x＜-m時，y隨x的增大而減小，當x＞-m時，y隨x的增大而增大，
①當-m≥2，即m≤-2時，x=2時，y取得最大值，即4+4m+m+2=-3，解得：m=-$\frac{9}{5}$＞-2，舍去；
②當-1＜-m＜2，即-2＜m＜1時，x=-m時，-m²+m+2=-3，
解得：m₁=$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$＞1，舍去；m₂=$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$；
③當-m≤-1，即m≥1時，x=-1時，1-2m+m+2=-3，解得：m=6；
綜上，m的值為6或$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$，
故選：C．

點評 本題主要考查二次函數的最值，根據二次函數的增減性分類討論并熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．