Question

18．為積極開展“六城同創”工作，我市綠化提質改造工程正如火如荼地進行，需要大量的甲、乙兩種樹苗對濱江路進行綠化改造，某樹苗種植戶經市場調研發現：如果單獨種植甲種樹苗，所獲利潤y_甲（萬元）與種植畝數x₁（畝）之間存在正比例函數關系y_甲=kx₁，并且當種植5畝時可獲利潤2萬元；如果單獨種植乙種樹苗，則所獲利潤y_乙（萬元）與種植畝數x₂（畝）之間存在二次函數關系：y_乙=ax₂²+bx₂，且種植2畝時能獲利潤2.4萬元，當種植4畝時，可獲利潤3.2萬元
（1）請分別求出上述的正比例函數表達式與二次函數表達式
（2）如果種植戶想用10畝地同時種植甲、乙兩種樹苗，請設計一個能獲得最大利潤的種植方案，并求出按此方案種植所獲得的最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）待定系數法求解可得；
（2）根據題意得W_總=y_甲+y_乙=$\frac{2}{5}$（10-x₂）+（-0.2x₂²+1.6x₂）=-0.2x₂²+1.2x₂+4=-0.2（x₂-3）²+5.8，據此可得．

解答 解：（1）將x=5、y=2代入y_甲=kx₁，得：5k=2，
解得：k=$\frac{2}{5}$，
∴y_甲=$\frac{2}{5}$x₁；
將x=2、y=2.4和x=4、y=3.2代入y_乙=ax₂²+bx₂，得：
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=2.4}\\{16a+4b=3.2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-0.2}\\{b=1.6}\end{array}\right.$，
∴y_乙=-0.2x₂²+1.6x₂；

（2）根據題意得：W_總=y_甲+y_乙
=$\frac{2}{5}$（10-x₂）+（-0.2x₂²+1.6x₂）
=-0.2x₂²+1.2x₂+4
=-0.2（x₂-3）²+5.8，
當x₂=3時，W_總利潤最大為5.8萬元，
答：當種植甲種樹苗7畝，乙種樹苗3畝時，所獲利潤最大，種植所獲得的最大利潤為5.8萬元．

點評 本題主要考查二次函數的應用，熟練掌握待定系數法求函數解析式及銷售問題中的最大利潤問題是解題的關鍵．