Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，分別以直角邊AC和斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE，過點E，作EF⊥AB，垂足為F，連結DF．求證：AE=DF．

Answer 1

分析 求出∠ABC=60°，根據等邊三角形的性質得出等邊三角形，∠DAC=∠BAE=∠FAE=60°，AB=AE，AC=AD，根據AAS推出Rt△ABC≌Rt△AEF，根據全等得出EF=AC=AD，求出∠DAB=∠AFE，推出AD∥EF，得到四邊形ADFE是平行四邊形，進而得到結論．

解答 證明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵△ACD、△ABE是等邊三角形，
∴∠DAC=∠BAE=∠FAE=60°，AB=AE，AC=AD，
∵EF⊥AB，即∠AFE=90°，
∴△AEF是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠FAE=∠ABC}\\{∠AFE=∠ACB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△AEF（AAS），
∴EF=AC=AD，
∵∠DAB=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°，
∴∠DAB=∠AFE，
∴AD∥EF，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，
∴AE=DF．

點評 本題考查了平行四邊形的性質和判定，等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定的應用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵．