Question

15．E為正方形ABCD的邊CD上的一點，將△ADE繞A點順時針旋轉90°，得△ABF，G為EF中點．下列結論：
①G在△ABF的外接圓上；
②EC=$\sqrt{2}$BG；
③B、G、D三點在同一條直線上；
④若S_{四邊形BGEC}=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD}，那么E為DC的黃金分割點．
正確的有①②③④（請將正確答案的序號填在橫線上）．

Answer 1

分析 如圖，取AF的中點P，連接PG，CG，在線段BC上取一點N，使得BF=BN，連接EN、BD．
①正確．只要證明PG=$\frac{1}{2}$AF即可．
②正確．只要證明EN=$\sqrt{2}$EC，EN=2BG即可．
③正確．只要證明EN∥BD，EN∥BG即可．
④正確．設BC=CD=a，DE=b，由S_{四邊形BGEC}=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD}，得S_△BGC+S_△ECG=$\frac{1}{4}$a²，即$\frac{1}{2}$•a•$\frac{1}{2}$•（a-b）+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$（a+b）•（a-b）=$\frac{1}{4}$a²，即b²+ab-a²=0，
解得b=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a或b=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$a（舍棄），由此即可解決問題．

解答 解：如圖，取AF的中點P，連接PG，CG，在線段BC上取一點N，使得BF=BN，連接EN、BD．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠ABF=∠DCB=90°，
∵AP=PF，
∴點P是△ABF的外心，
∵AP=PF，FG=GE，
∴PG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$AF，
∴點G在△ABF的外接圓上，故①正確，
∵BF=BN=DE，BC=CD，
∴CN=CE，EN=$\sqrt{2}$EC，
∵FG=GE，FB=BN，
∴EN=2BG，
∴2BG=$\sqrt{2}$EC，
∴EC=$\sqrt{2}$BG，故②正確，
∵CN=CE，∠BCD=90°，
∴∠ENC=∠DBC=45°，
∴NE∥BD，又∵EN∥BG，
∴B、G、D共線，故③正確，
設BC=CD=a，DE=b，
∵S_{四邊形BGEC}=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD}，
∴S_△BGC+S_△ECG=$\frac{1}{4}$a²，
∴$\frac{1}{2}$•a•$\frac{1}{2}$•（a-b）+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$（a+b）•（a-b）=$\frac{1}{4}$a²，
∴b²+ab-a²=0，
解得b=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a或b=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$a（舍棄），
∴DE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$CD，
∴點E是CD的黃金分割點，故④正確．
故答案為①②③④．

點評 本題考查圓綜合題、旋轉變換、正方形的性質、等腰直角三角形的性質、三角形的中位線定理、三角形的外接圓等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造三角形的中位線解決問題，屬于中考壓軸題．