Question

6．先閱讀下列一段文字，然后解答問題：
某食品研究部門欲將甲、乙、丙三種食物混合研制成100千克食物，并規(guī)定：研制成的混合食品中至少需含44000單位的維生素A和48000單位的維生素B，三種食物的維生素A、B的含量如表1所示：

	甲種 食物	乙種 食物	丙種 食物			每千克生產(chǎn)成本（元）
					甲種食物	9
維生素A（單位/千克）	400	600	400		乙種食物	12
維生素B（單位/千克）	800	200	400		丙種食物	8

（表1）（表2）
設(shè)所取甲、乙、丙三種食物的質(zhì)量分別為x千克、y千克、z千克，
（1）試根據(jù)題意列出等式和不等式，并說明：①y≥20；②2x-y≥40；
（2）設(shè)甲、乙、丙三種食物的生產(chǎn)成本如表2所示：①試用含x、y的代數(shù)式表示研制的混合食品的總成本P（元）；②如果限定混合食品中甲種食物的質(zhì)量為40千克，試求此時(shí)總成本P的取值范圍，并確定當(dāng)P取最小值時(shí)，所取乙、丙兩種食物的質(zhì)量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“甲、乙、丙三種食物混合研制成100千克食物，混合食品中至少需含44000單位的維生素A和48000單位的維生素B”列出等式或不等式$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=100}\\{400x+600y+400z≥44000}\\{800x+200y+400z≥48000}\end{array}\right.$，整理并解不等式，可得y≥20且2x-y≥40；
（2）①根據(jù)“總成本=甲種食物的質(zhì)量×每千克生產(chǎn)成本+乙種食物的質(zhì)量×每千克生產(chǎn)成本+丙種食物的質(zhì)量×每千克生產(chǎn)成本”可得P關(guān)于x、y的代數(shù)式；②由x=40、y≥20且2x-y≥40得20≤y≤40，根據(jù)P=x+4y+800=4y+840中P隨y的增大而增大，從而得出w的取值范圍及最小值，繼而可得乙、丙兩種食物的質(zhì)量．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：
$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=100}\\{400x+600y+400z≥44000}\\{800x+200y+400z≥48000}\end{array}\right.$，
整理得$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=100}\\{2x+3y+2z≥220}\\{4x+y+2z≥240}\end{array}\right.$，
由x+y+z=100得，z=100-x-y ①
把①代入兩個(gè)不等式可得y≥20且2x-y≥40；

（2）①P=9x+12y+8（100-x-y）=x+4y+800；
②∵x=40，y≥20且2x-y≥40，
∴20≤y≤40，
由題意可得P=x+4y+800=4y+840，
∵P隨y的增大而增大，
∴當(dāng)y=20，z=40時(shí)，P有最小值40×9+12×20+8×40=920元；
當(dāng)y=40，z=20時(shí)，P有最大值40×9+12×40+8×20=1000元；
則P的取值范圍是920≤P≤1000．
P取最小值時(shí)，乙、丙兩種食物的質(zhì)量分別是20千克、40千克．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，理清題中所涉數(shù)量關(guān)系，根據(jù)相等關(guān)系或不等關(guān)系列出不等式關(guān)系式即可求解，P的取值需要分組討論得出．