Question

12．如圖1，在△ABC中，∠BAC=90℃，AB=AC，AE是過點A的一條直線，且B、C在AE的異測，BD⊥AE于點D，CE⊥AE于點E
（1）試說明：BD=CE+DE；
（2）若直線AE繞點A旋轉到圖2所示的位置（BD＞CE）時，其余條件不變，則BD與DE，CE的數量關系如何？請說明理由；
（3）若直線AE繞點A旋轉到圖2所示的位置（BD＜CE）時，其余條件不變，則BD與DE，CE的數量關系怎樣？請直接寫出結果，不需說明理由；
（4）根據以上的討論請用簡潔的語言表達BD與DE，CE的數量關系．

Answer 1

分析 （1）利用AAS判定△ABD≌△CAE，根據全等三角形的對應邊相等可以求得BD=AE，AD=CE，由此即可證明．
（2）結論：BD=DE-CE．證明方法類似（1）．
（3）結論：BD+CE=DE．證明方法類似（1）．
（4）觀察結論可知：線段BD與DE，CE的數量關系為：較短的兩條線段之和等于較長的線段．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠AEC=90°，∠DBA+∠BAD=90°，∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠DBA=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠DBA=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE；
∴AE=AD+DE=CE+DE
∴BD=DE+CE；

（2）解：結論：BD+CE=DE．
理由：如圖2中，

∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠AEC=90°，∠DBA+∠BAD=90°，∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠DBA=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠DBA=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE
∵DE=AE+AD=BD+CE
∴BD+CE=DE．

（3）解：結論：BD+CE=DE．
理由：如圖3中，

∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠AEC=90°，∠DBA+∠BAD=90°，∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠DBA=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠DBA=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE
∵DE=AE+AD=BD+CE
∴BD+CE=DE．

（4）線段BD與DE，CE的數量關系為：較短的兩條線段之和等于較長的線段．

點評 本題考查三角形全等的判定與性質，掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．結合圖形得出線段之間的關系解決問題．