Question

10．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+2過B（-2，6），C（2，2）兩點．
（1）記拋物線頂點為D，求△BCD的面積；
（2）若直線y=-$\frac{1}{2}$x向上平移b個單位所得的直線與拋物線段BDC（包括端點B、C）部分有兩個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把B、C兩點的坐標代入求出a和b的值即可求出拋物線的解析式，然后把拋物線解析式化成頂點式求出頂點坐標，根據B、C的坐標根據待定系數法求出直線BC與對稱軸的交點H，根據S_△BDC=S_△BDH+S_△DHC即可解決問題．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x+2}\end{array}\right.$，當方程組只有一組解時求出b的值，當直線y=-$\frac{1}{2}$x+b經過點C時，求出b的值，當直線y=-$\frac{1}{2}$x+b經過點B時，求出b的值，由此即可解決問題．

解答 解：（1）把B（-2，6），C（2，2）兩點坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+2=6}\\{4a+2b+2=2}\end{array}\right.$，
解這個方程組，得 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x+2；
∵y=$\frac{1}{2}$x²-x+2=$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$，
∴頂點D（1，$\frac{3}{2}$），
∵B（-2，6），C（2，2），
∵直線BC為y=-x+4，
∴對稱軸與BC的交點H（1，3），
∴S_△BDC=S_△BDH+S_△DHC=$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{2}$）•3+$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{2}$）•1=3．  

（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x+2}\end{array}\right.$消去y得到x²-x+4-2b=0，
當△=0時，直線與拋物線相切，1-4（4-2b）=0，
∴b=$\frac{15}{8}$，
當直線y=-$\frac{1}{2}$x+b經過點C時，b=3，
當直線y=-$\frac{1}{2}$x+b經過點B時，b=5，
∵直線y=-$\frac{1}{2}$x向上平移b個單位所得的直線與拋物線段BDC（包括端點B、C）部分有兩個交點，
∴$\frac{15}{8}$＜b≤3．

點評 本題考查待定系數法確定二次函數解析式、二次函數性質等知識，解題的關鍵是求出對稱軸與直線BC交點H坐標，學會利用判別式確定兩個函數圖象的交點問題，屬于中考常考題型．