Question

20．如圖，數軸上與$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$對應的點分別是A、B．點B關于點A的對稱點為C，設點C表示的數為x，求：
（1）x的值；
（2）（17+4$\sqrt{15}$）x²-（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$）x-2的值．

Answer 1

分析 （1）首先結合數軸利用已知條件求出線段AB的長度，然后根據B，C兩點關于A點對稱即可解決問題；
（2）將（1）中所求的x的值代入，利用平方差公式分別計算（17+4$\sqrt{15}$）x²與（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$）x，再化簡即可．

解答 解：（1）∵數軸上與$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$對應的點分別是A、B，
∴AB=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$，
又∵AC=AB，
∴$\sqrt{3}$-x=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$，
∴x=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{5}$；

（2）∵x=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{5}$，
∴x²=（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{5}$）²=17-4$\sqrt{15}$，
∴（17+4$\sqrt{15}$）x²-（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$）x-2
=（17+4$\sqrt{15}$）（17-4$\sqrt{15}$）-（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$）（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{5}$）-2
=289-240-12+5-2
=40．

點評 本題考查了實數與數軸，二次根式的計算，利用中點的性質得出關于x的方程是解題關鍵．