Question

12．在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°．
（1）如圖1，若AB=5$\sqrt{2}$，求BC的長；
（2）點D是CB邊的延長線上一點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°，得到線段AE，如圖2，當點E恰在AC邊上時，計算CE與BD的關系數量．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABD中，求出AD、BD，再在Rt△ADC中求出CD即可解決問題．
（2）結論：CE=（$\sqrt{3}$-1）BD．如圖2中，作AF⊥BC于F，設AC=a．想辦法用a表示線段BD，CE即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1，過A作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=45°，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5，
∵∠C=60°，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴BC=BD+CD=5$+\frac{5\sqrt{3}}{3}$；

（2）結論：CE=（$\sqrt{3}$-1）BD．
理由：如圖2中，作AF⊥BC于F，設AC=a．

在Rt△ADC中，∵∠DAC=90°，∠D=30°，
∴DC=2a，AD=AE=$\sqrt{3}$a，
在Rt△AFC中，∵∠FAC=90°，∠FAC=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a，AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△ABF中，∵∠ABF=∠BAF=45°，
∴BF=AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴DB=CD-BF-CF=a，
∵CE=AE-AC=（$\sqrt{3}$-1）a，
∴CE=（$\sqrt{3}$-1）BD．

點評 本題考查旋轉變換、解直角三角直角三角形30°角性質等知識，解題的關鍵是記住30°的直角三角形的三邊之比為1：$\sqrt{3}$：2，45°是直角三角形的三邊之比為1：1：$\sqrt{2}$，屬于中考常考題型．