Question

4．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線與BC邊的垂直平分線相交于點P，過點P作AB、AC（或延長線）的垂線，垂足分別是M、N，求證：BM=CN．

Answer 1

分析 因為ED是BC的垂直平分線，那么BD=CD，而AD是∠BAC的平分線，DM⊥AB，DN⊥AC，根據角平分線的性質可得DM=DN，再根據HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，從而有BM=CN．

解答 證明：連接BD，CD，如圖，
∴DE是BC的垂直平分線，
∴BD=CD，
∵AD是∠BAC的平分線，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△BMD和Rt△CND中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BMD≌Rt△CND（HL），
∴BM=CN

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質、線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是掌握垂直平分線的定義以及性質，掌握角平分線的性質以及具體的應用．