Question

9．如圖，已知點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，△EBC為等邊三角形，AB=2，P是邊CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，分別連按AQ，QE．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q落在邊AD上時(shí)，以下結(jié)論：①AQ=CP，②∠BEQ=90°，正確的有①②（填序號(hào)）；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是邊CD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)C除外），分別判斷（1）中所給的兩個(gè)結(jié)論是否正確，若有正確的結(jié)論，請(qǐng)加以證明；
（3）直接寫出在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中線段AQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）正確的有①②．只要證明△ABQ≌△CBP，推出∠ABQ=∠CBP=90°-∠PBQ=15°，AQ=PC，再證明△QBA≌△QBE即可解決問題．
（2）結(jié)論②正確．只要證明△QBE≌△PBC，盡快提出∠QEB=∠BCP=90°．
（3）如圖2中，理解BN，作AQ′⊥EQ于Q′．在AB上取一點(diǎn)K，使得BK=KN．由∠QEB=90°，所以點(diǎn)Q在射線EQ上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短，點(diǎn)Q與Q′重合時(shí)，AQ最小．Rt△AQ′N中，∠ANQ′=180°-∠ANE=180°-150°=30°，可得AQ的最小值為AQ′=$\frac{1}{2}$AN即可解決問題．

解答 解：（1）正確的有①②．
理由：如圖1中，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCP=∠ABC=90°，
在RtABQ和Rt△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{BQ=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CBP，
∴∠ABQ=∠CBP=90°-∠PBQ=15°，AQ=PC，
∵△EBC是等邊三角形，
∴∠EBC=60°，BC=AB=BE，∠ABE=90°-60°=30°，
∴∠QBA=∠QBE=15°，
在△QBA和△QBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠QBA=∠QBE}\\{BQ=BQ}\end{array}\right.$，
∴△QBA≌△QBE，
∴∠QEB=∠A=90°，
∴①②正確．

（2）結(jié)論②正確．
理由：如圖2中，
∵∠QBP=∠EBC=60°，
∴∠QBE=∠PBC，
在△QBE和△PBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BQ=PB}\\{∠QBE=∠PBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△QBE≌△PBC，
∴∠QEB=∠BCP=90°，
∴結(jié)論②正確．

（3）如圖2中，連接BN，作AQ′⊥EQ于Q′．在AB上取一點(diǎn)K，使得BK=KN．
∵∠QEB=90°，
∴點(diǎn)Q在射線EQ上運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)垂線段最短，點(diǎn)Q與Q′重合時(shí)，AQ最小．
∵△ABN≌△EBN，
∴∠EBN=∠ABN=15°，
∵KB=KN，
∴∠KBN=∠KNB=15°，
∴∠AKN=∠KBN+∠KNB=30°，設(shè)AN=x，則BK=KN=2x，
在Rt△AKN中，∵AK²+AN²=KN²，
∴（2-2x）²+x²=（2x）²，
解得x=4-2$\sqrt{3}$或4+2$\sqrt{3}$（舍棄），
∴AN=4-2$\sqrt{3}$，
在Rt△AQ′N中，∵∠ANQ′=180°-∠ANE=180°-150°=30°，
∴AQ的最小值為AQ′=$\frac{1}{2}$AN=2-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊直角三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．